Werking van een verzekering

In het artikel over de achtergrond van een verzekering werd gesproken over het berekenen van de verzekeringspremie aan de hand van het risico. Dit is niet het hele verhaal voor de verzekeraar, omdat dit alleen werkt als veel mensen zich verzekeren. Zonder grote ledengroep is het namelijk niet rendabel voor een verzekeringsmaatschappij om de risico’s die verzekeren met zich meebrengt te dragen. In dit artikel onderzoeken we waarom dit zo is.

Risico verzekeringsmaatschappij

Het is nu onderhand wel duidelijk dat alles draait om risico. Ook hier komt deze term weer terug. Stelt u zich het volgende voor: een grote groep mensen verzekert zich. Nu doet het zich voor dat zij allen op hetzelfde moment schade claimen (erg onwaarschijnlijk!). De verzekering zou dan over een gigantisch vermogen moeten beschikken om al aan iedereen uit te betalen. Dit is natuurlijk geen doen, daarom werkt het ook niet zo.

Overschrijdingskans

In de praktijk zal een verzekering werken met een bepaalde waarschijnlijkheid, bijvoorbeeld een overschrijdingskans van 5%. Dit is een belangrijk begrip, daarom een uitgebreide uitleg.
De overschrijdingskans van 5% houdt in dat er een kans van 0,05 bestaat dat een bepaalde waarde overschreden wordt. Dit houdt dan concreet in dat de verzekeraar voldoende vermogen beschikbaar heeft om het aantal claims dat correspondeert met een waarschijnlijkheid van 95% (1 – overschrijdingskans) uit te betalen, op ieder moment.

Nu is er dus een kans van 5% dat het aantal claims hoger is, waardoor de verzekeraar niet genoeg in kas heeft om alle claims uit te betalen. Aangezien 5% geen kleine kans is, is deze niet reëel. Een verzekeringsmaatschappij werkt (hopelijk) met een veel lagere overschrijdingskans.


Voorbeeldberekening overschrijdingskans

Om het bovenstaande enigzins te concretiseren, volgt nu een voorbeeldberekening. Hierbij gaan we antwoord geven op de vraag:

"Waarom zijn meer verzekerden financieel gunstig voor de verzekeringsmaatschappij?"

Nu zoeken we natuurlijk niet het triviale antwoord, namelijk dat zij samen meer premie betalen. Hoewel dit natuurlijk helemaal waar is, is er nog een reden. Het onderzoek wordt vervolgd.

We gaan hiervoor uit van een bepaalde gebeurtenis waartegen verzekerd wordt. In dit geval een gebeurtenis die zich voordoet met een kans van 0,1. We doen alsof er geen correlatie is tussen claims ,dus de kans op bijvoorbeeld stormschade bij u staat geheel los van de kans op stormschade bij de buurman. Verder laten we het tijdsaspect even buiten beschouwing.
Om de invloed van het aantal klanten te onderzoeken, gaan we dit aantal variëren. Er worden vijf casussen onderzocht:

  • Aantal verzekerden: 100;
  • Aantal verzekerden: 1.000;
  • Aantal verzekerden: 10.000;
  • Aantal verzekerden: 100.000;
  • Aantal verzekerden: 1.000.000.

Als verzekeraar zouden we nu kunnen rekenen met de verwachtingswaarde. De verwachtingswaarde van het aantal claims is nu simpelweg de kans (0,1) vermenigvuldigd met het aantal verzekerden. Maar wie zegt dat er niet meer mensen een claim indienen?

Hier komt de overschrijdingskans weer kijken. Voor elke casus gaan we uit van een overschrijdingskans van 5%. Het zal zichtbaar worden dat het aantal klanten (en daarmee het aantal claims) van essentieel belang is voor de resultaten. Er is namelijk een direct verband tussen de overschrijdingskans behorend bij een aantal claims (dus de kans dat er meer claims komen dan dit aantal claims, het aantal claims wordt overschreden) en het aantal klanten.

We berekenen het bijbehorend aantal claims behorend bij deze overschrijdingskans. Hiervoor gebruiken we een binomiale verdeling zonder daar verdere uitleg over te geven. De resultaten zijn weergegeven in de vorm van cumulatieve kansverdelingen voor alle gevallen:

Cumulatieve bimomiale verdeling voor n=100 t/m n=1000000 bij P=0,1.

Op de horizontale as zien we het aantal claims (aangeduid met "k"). Op de verticale as kunnen we dan aflezen wat de kans is dat het aantal claims kleiner of gelijk is aan het op de horizontale as aangegeven aantal, de zogeheten onderschrijdingskans (oftewel de kans dat X≤k). Dit in tegenstelling tot de overschrijdingskans, waarbij het gaat om groter dan. We kunnen deze omrekenen doordat we weten dat ze opgeteld gelijk moeten zijn aan 1.

Om de drie gevallen duidelijk te kunnen vergelijken, is gebruik gemaakt van het schalen van het aantal claims. Zo liggen de verdelingen mooi in hetzelfde domein. Zo stelt het getal “10” op de horizontale as bijvoorbeeld 1.000 claims voor, wanneer gekeken wordt naar de casus met 10.000 verzekerden.

We zien dat voor een grotere groep, de verdeling steeds meer naar een abrupte stap nadert. Dit zegt ons dat het aantal claims dat zich voordoet steeds zekerder wordt. De onzekerheid bevindt zich namelijk tussen de onder- en bovengrens (0 en 1 resp.), dus een kortere afstand op de horizontale as is niets anders dan een kleiner betrouwbaarheidsinterval. Let er wel op dat de verdelingen geschaald zijn, oftewel dat de onzekerheid alleen afneemt in relatieve zin.

Er is ook een horizontale lijn getekend (paars). Deze lijn geeft een kans van 0,95 (95%) aan. Hiermee kunnen we het aantal claims behorend bij de overschrijdingskans bepalen. We zoeken de snijpunten van deze horizontale lijn, met de kansverdelingen. Lezen we vervolgens het aantal claims af waarbij de lijnen snijden, dan weten we wat het aantal claims is dat overschreden wordt met een kans van 5%.

We korten voor het gemak "het aantal claims horend bij een overschrijdingskans van 5%" even af tot "claims 5%". We vinden voor ons voorbeeld (bepaald met de Excelsheet waarmee ook de grafieken getekend zijn):

  • Aantal verzekerden: 100; 5% claims = 15
  • Aantal verzekerden: 1.000; 5% claims = 116
  • Aantal verzekerden: 10.000; 5% claims = 1.050
  • Aantal verzekerden: 100.000; 5% claims = 10.156
  • Aantal verzekerden: 1.000.000; 5% claims =100.494

De hoeveelheid claims bij een 5% overschrijdingskans zegt op zich niet zoveel. Hiervoor kijken we naar de verhouding t.o.v. het totaal aantal verzekerde, zij betalen immers de premie. Als we naar de ratio "claims 5% / totaal aantal verzekerden" (vanaf nu "fractie 5%") kijken vinden we:

  • Aantal verzekerden: 100; fractie 5% = 0,1500
  • Aantal verzekerden: 1.000; fractie 5% = 0,1160
  • Aantal verzekerden: 10.000; fractie 5% = 0,1050
  • Aantal verzekerden: 100.000; fractie 5% = 0,1016
  • Aantal verzekerden: 1.000.000; fractie 5% = 0,1005

We zien dat deze fractie afneemt naarmate het aantal verzekerden toeneemt. Om dit te visualiseren tekenen we deze "fractie 5%" in een grafiek, uitgezet tegenover het aantal verzekerden:

Fractie 5% uitgezet tegen het aantal verzekerden.

Hierin is ook de verwachtingswaarde weergegeven. Omdat deze verschilt voor elke situatie (het aantal verzekerden is namelijk anders) is deze genormaliseerd door deze te delen door het aantal verzekerden. Volgens de definitie is dit trouwens gewoon de kans.

We zien dat voor een toenemend aantal verzekerden, de "fractie 5%" nadert tot de kans. Bij een groter aantal verzekerden neemt dus eigenlijk de onzekerheid af, omdat het aantal claims dan nadert tot de verwachtingswaarde. Het is niet dat het aantal claims minder afwijkt van de verwachtingswaarde, niet in absolute zin in ieder geval. Relatief gezien is dit wel degelijk het geval.

Een andere manier om hier naar te kijken is als volgt: Voor grote aantallen kan de binomiale verdeling benaderd worden door een normale verdeling. Dit is alleen juist wanneer de kans niet te groot of te klein is. Er even vanuit gaande dat dit mag voor ons voorbeeld, vinden we voor de vervangende verdeling:

E{X} = n x p = mu
sigma = wortel( n x p x (1 - p))

De standaarddeviatie sigma is een maat voor de spreiding. We zien dat deze toeneemt als n toeneemt. Voor ons geval is niet zozeer de spreiding van belang, maar wel de relatieve spreiding. Deze berekenen we door de spreiding te delen door het aantal verzekerden:

sigma_relatief = sigma / n = wortel( n x p x (1 - p)) / n = wortel(( p x (1 - p))/n )

Deze neemt, in tegenstelling tot de spreiding zelf, af naarmate n toeneemt. Dit is ook wat we zien in de figuur waar de "fractie 5%" getekend is.


Dit is de essentie van de wet van de grote aantallen. Omdat het aantal claims binnen de 95% betrouwbaarheid nadert tot de verwachtingswaarde, heeft de verzekeraar een steeds kleinere onzekerheid.


Nu komen we terug op de hoofdvraag van dit mini-onderzoek. Meer leden zijn gunstig voor een verzekeringsmaatschappij omdat enerzijds het aantal premiebetalers toeneemt, terwijl het aantal claims minder onzeker wordt. Hierdoor hoeft de verzekeraar minder reserve in kas te hebben naarmate het aantal verzekerden toeneemt, om toch dezelfde uitkeringszekerheid te creëren.

Tags: 

Gerelateerde artikelen

Voeg reactie toe

Plain text

  • No HTML tags allowed.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically.
  • Lines and paragraphs break automatically.